Universidad Maimónides: Escuela de Multimedia
10 Septiembre 2003

Redes: desde la web al metabolismo celular

Por Multimedia Maimonides
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Introducción

La teoría de redes se refiere al estudio de los sistemas conectados. Constituyen redes las palabras en un idioma y los temas en una conversación. El cerebro es una red de neuronas. Las organizaciones son redes de personas. La economía global es una red de economías nacionales, compuestas de redes de mercados, las que a su vez se construyen con las interacciones de los productores y consumidores. Las cadenas alimentarias, los ecosistemas, las organizaciones terroristas, la World Wide Web (www) y el metabolismo celular pueden ser tratados como redes.

Una herramienta matemática importante para el estudio de las redes es la teoría de grafos. Estos son una colección de vértices o nodos conectados por ligaduras (arcos), dirigidos o no.

En este artículo se muestra que, si bien las redes mencionadas constituyen sistemas sin aparente relación entre sí, éstos pueden ser estudiados en forma general. Notablemente, no hay gran diversidad en la estructura de las redes que los representan.

Dos grandes clases de redes

Albert-László Barabási, en su libro "Linked, The New Science of Networks" (2002) señala que los resultados teóricos y experimentales sobre el análisis de redes, llevan a distinguir dos grandes clases basándose en la distribución de su conectividad . Este valor da la probabilidad de que un nodo en la red esté conectado a k otros nodos. La primera clase de redes se caracteriza porque tiene un pico en un cierto valor promedio y decae exponencialmente a medida que k se agranda. Los ejemplos más investigados de tales redes exponenciales son el modelo de los grafos aleatorios de Erdös y Rényi (1960, 17) y los mundos pequeños (Small Worlds) de Watts y Strogatz ("Small Worlds: the Dynamics of Networks between Order and Randomness", Watts, 1999).

Existe un juego descripto por Watts en su libro que representa muy bien lo que es un mundo pequeño; se llama el juego de Kevin Bacon. Este señor es un actor norteamericano que no ha sido estrella en muchas películas. Pero hace unos años un computador científico de la Universidad de Virginia – Brett Tjaden – lo introdujo en la galería de famosos internacionales por ser algo así como el centro del universo cinematográfico. El juego es así:

– Pensar en un actor o en una actriz.
– Si alguna vez ha trabajado en una película con Kevin Bacon, tiene un "número Bacon" de 1.
– Si nunca ha estado en una película con él, pero han estado en una película con otro actor o actriz que haya trabajado con él, entonces tienen un "número Bacon" de 2, y así siguiendo.

Lo que Tjaden mostró tras una exhaustiva investigación confeccionando una enorme base de datos, es que cualquier actor o actriz que haya actuado en una película norteamericana tiene un "número Bacon" que no supera el 4 y tomando todas las películas del mundo, el "número Bacon" no supera el 8. Esto es lo que se llama un "fenómeno de mundo pequeño". En realidad, aunque no puede probarse cuál es el número exacto, sí puede verse, por ejemplo, que las redes sociales funcionan como mundos pequeños.

¿Qué caracteriza a estos mundos pequeños? Son redes bastante homogéneas en las cuales cada nodo tiene aproximadamente el mismo número de conexiones, . O sea, cada nodo de la red se relaciona con aproximadamente k otros nodos de la misma.

Albert-László Barabási trabajó sobre otra gran clase de redes, encontrando que hay muchos sistemas que pertenecen a un tipo de redes inhomogéneas, las que se denominan "scale-free". Para ellas, decae con una ley potencial, es decir, . Los ejemplos encontrados que responden a este tipo de redes son muy diversos, entre los que se encuentran la Web y las redes metabólicas. Barabási analizó 43 organismos diferentes y encontró para todos ellos el mismo patrón topológico en la red metabólica.

Se estudió la interconectividad de la red, describiéndola por su diámetro (d). d es la longitud promedio de los caminos más cortos entre dos nodos cualesquiera de la red. Cuanto más pequeño es d, más corto se espera que sea el camino entre dos nodos y ésto influye en las posibilidades de comunicación existentes entre los dos nodos.

Hay redes con un enorme número de nodos que tienen diámetros muy pequeños. Por ejemplo, ¿cuán grande es la Web hoy?. ¿Cuántos documentos y "links" hay?

Hasta hace poco era una incógnita, pero en 1998, Steve Lawrence y Lee Giles (1998,98 y 1999,107) decidieron encarar una investigación sobre el tema. En 1999 encontraron que la Web tenía cerca de un billón de documentos. Pero lo más importante es que su diámetro no es grande – alrededor de 19 – y que no es un mundo pequeño, sino una red "scale-free". Esto es sumamente importante porque hace a la tolerancia que tiene la red cuando hay algún problema.

Para evaluar ésto, Barabási realizó un estudio sobre redes, analizando los cambios en su diámetro cuando se saca una fracción pequeña f de nodos. El mal funcionamiento o ausencia de un nodo suele incrementar la distancia entre los nodos restantes, puesto que pueden quedar eliminados algunos caminos que contribuyen a la interconectividad del sistema. Se encontró que en las redes exponenciales el diámetro se incrementa monótonamente con f, o sea, cuando f crece, es muy difícil para los nodos restantes comunicarse entre ellos. Esto se explica por la homogeneidad de la red. Como todos los nodos tienen aproximadamente el mismo número de conexiones (links), contribuyen en igual forma al diámetro. Por lo tanto, al eliminar cualquier nodo el daño que se produce es similar.

En cambio, en las redes "scale-free" el comportamiento es completamente diferente. Aunque el número de fallas aumente, el diámetro permanece casi sin cambios. Esto se debe a la distribución inhomogénea de la conectividad. La distribución según una ley potencial implica que la mayoría de los nodos tienen unos pocos "links" y como hay muchos de ellos, la probabilidad que se vean afectados es mucho mayor que la probabilidad de falla en los escasos nodos más conectados. Por lo tanto, el impacto de las fallas en este tipo de redes es mucho menor.

En las redes metabólicas de los 43 organismos estudiados por Barabási no se han encontrado más de 10 nodos altamente conectados (y, sorprendentemente, son los mismos en todos esos organismos). Evidentemente, esto hace grandemente a la vulnerabilidad o, equivalentemente, a la robustez de la red.

La www forma un grafo dirigido enorme cuyos nodos son documentos y las conexiones son los vínculos (links) que van de un documento a otro. La www es también una red scale-free: se encontró que las probabilidades y de que un documento tenga k conexiones de salida y entrada, respectivamente, sigue una ley potencial de la forma , con y . Estudiando algunos mapas parciales de la Web, se halló que, ante fallas aleatorias, la tolerancia es muy grande. Está claro que si son atacados los nodos más conectados, el diámetro de estas redes aumenta rápidamente y la red entonces se rompe en fragmentos aislados.

Conclusión

La Web es una red scale-free, lo que la hace altamente tolerante a fallas aleatorias y grandemente vulnerable a ataques planificados. Basta con encontrar los pocos nodos muy conectados.

El mismo tipo de red aparece al describirse el metabolismo celular y ésto tiene enormes connotaciones para el diseño de tratamientos contra ciertas enfermedades y la evaluación de tolerancia y vulnerabilidad en los seres vivos.
Como bien lo plantean investigadores de diferentes disciplinas, si queremos comprender la vida, debemos pensar en redes. No es casual, entonces, que muchos de los sistemas generados por los seres vivos también puedan representarse a través de ellas.

Acerca de la autora

Alba N. Zaretzky es Investigadora, Responsable de Calidad del Grupo de Dosimetría de Radiaciones Ionizantes, Comisión Nacional de Energía Atómica.
Es Profesora Titular de Matemática y Estadística de las Universidades Maimónides y Nacional de San Martín.
Ha publicado en revistas internacionales como Mathematical and Computer Modelling, Journal of Biological Systems, BioSystems, Bio-Math, Journal of Mathematics and Mathematical Biosciences, etc.
Es miembro del Subcomité de Estadística de IRAM.
Es miembro del Comité Editorial del Journal of Biological Systems.

Bibliografía

Vínculos de interés

  • Redes en Universidad de Notre Dame (EUA): Papers, redes celulares, topologías de redes, vínculos, en el grupo coordinado por Albert-László Barabási.
  • CAIDA: Asociación cooperativa para el análisis de datos de Internet
  • INSNA: Análisis de redes sociales
  • Vladimir Batagelj: vínculos sobre grafos y análisis de redes: asociaciones, programas, algoritmos, formatos, visualizaciones.

Referencias de imágenes